Как найти обратную матрицу?

Aleyana:

Найти обратную матрицу к матрице данной можно двумя способами. Вначале, однако, надо помнить, что матрица должна быть квадратной (иначе вы не сможете найти определитель и, соответственно, найти обратную матрицу тоже)

1. Проверьте определитель данной матрицы, назовём её М. detM не должен быть равен нулю, то есть матрица должна быть не вырожденная.
Затем транспонируйте матрицу М. Поясню. Вам дана, например, такая матрица:
| 2 3 8 |
| 5 6 1 |
| 4 7 9 |.
Транспонируя, вы получите такую матрицу:
| 2 5 4 |
| 3 6 7 |
| 8 1 9 |.
Далее вам потребуется отыскать союзную матрицу M* (иначе также называемую присоединённой). Она будет состоять из алгебраических дополнений транспонированной матрицы. Алгебраическое дополнение к элементу матрицы — это произведение минус единицы в степени суммы строки и столбца, в которой находится этот элемент, на дополнительный минор, который можно найти вычёркиванием строки и столбца, содержащие элемент. Например, к элементу 6 транспонированной матрице алгебраическое дополнение:
| 2 4 |
| 8 9 |*(-1)²⁺¹.
Чтобы отыскать обратную матрицу, умножьте союзную матрицу на величину, обратную определителю: M^-1=M*/detM.

2.»Припишите к данной матрице M через пунктир единичную матрицу тех же размеров, чтобы получить матрицу размером n_^x2n. Далее путём элементарных преобразований, проводимых над строками (!) матриц, добейтесь чтобы единичная матрица оказалась слева от пунктира, а справа некоторая матрица N. Матрица, оказавшаяся справа, и есть обратная матрица к матрице M.

Пояснение:

1)

| 2 1 -1꞉ 1 0 0| » » » » » » » » » » » » » » » «| 2 1 -1 1 0 0 | » » » » » » «»| 0 1 -13 -5 -2 0 |

| 5 2 4 ꞉ 0 1 0|»= (III-(I+II) и II-2I)»| 1 0 6 -2 1 0 |»= (I-2II)»| 1 0 » 6 «-2 «1 0 | =»

| 7 3 2 ꞉ 0 0 1|»» » » » » » » » » » » » » » » «| 0 0-1 -1 -1 1| » » » » » » «»| 0 0 «-1 -1 -1 1 |

2)

» » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » «| 1 0 » 6 -2 «1 «0 |

= (I и II — поменять местами,III*(*1))»| 0 1 -13 -3 -2 «0 | =

» » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » » «| 0 0 » 1 «1 «1 -1 |

3)

» » » » » » » » » » » » » » » «»|» 1 0 0 ꞉»-8 » -5 » «6»|»

= (I-6III и II+13III)»|»»0 1 0 ꞉»18 11 -13″ |»

» » » » » » » » » » » » » » » «»|»0 «0 1 ꞉»1 «1 » -1″ » |»

Не забудьте о том, что надо каждый раз проверять полученный результат: умножать обратную матрицу на матрицу, данную в условии. Вы должны получить единичную матрицу.