найти обратную матрицу

RinSe:

По определению матрицей, обратной какой-либо матрице A называется такая матрица B, для которой выполняется следующее условие: AB = BA = E, то есть при их перемножении получается единичная матрица E.

Существует два основных способа вычисления обратной матрицы.

Первый способ, так называемый метод алгебраических дополнений:

1) Вычисляем определитель изначальной матрицы (detA).

2) Для каждого элемента изначальной матрицы находим алгебраическое дополнение.

3) Составляем новую матрицу из алгебраических дополнений. Для этого заменяем каждый элемент изначальной матрицы его алгебраическим дополнением.

«4) Транспонируем получившуюся матрицу из алгебраических дополнений.

Такую транспонированную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений, принято называть присоединенной к изначальной матрице.

5) Делим каждый элемент получившейся матрицы на определитель изначальной матрицы (detA). Полученная в результате матрица и является искомой нами обратной матрицей.

Проверить себя можно умножив получившуюся матрицу на изначальную. Если в результате получается единичная матрица E, значит всё получилось верно, и Вы нашли искомую обратную матрицу.

Второй способ, называемый методом Гаусса:

1) Приписываем справа к изначальной матрице единичную матрицу одинакового с ней порядка.

2) Путем элементарных преобразований строк получившейся матрицы приводим её к ступенчатому виду, при этом совершая преобразования с «полной строкой», то есть по обе стороны от вертикальной черты. Ступенчатая форма изначальной матрицы должна будет представлять собой треугольную матрицу с угловыми элементами, не равными нулю, так как её определитель не равен нулю. Продолжим преобразования, чтобы добиться того, чтобы слева от вертикальной черты получилась единичная матрица E, справа же от нее получится искомая нами обратная матрица.