Как решать линейные системы уравнений?

Елена:

Чтобы решать линейные системы уравнений, следует знать, что их ответом является пересечение решений каждого отдельного уравнения в данной системе. То есть отталкиваться нужно прежде всего от каждого отдельного уравнения.

Способов решать линейные уравнения достаточно. Самый простой — это метод подстановки, когда вы можете выразить одну переменную через другую и поставить ее в другие или другое уравнение. Это позволит нам решать уже просто уравнение. относительно одной переменной. Но такие ситуации встречаются не так часто, так как вариант очень простой. Чаще всего предлагаются системы, начиная с 3-х неизвестных. А там метод подстановки бывает применить достаточно сложно, только если явно не выражаются другие переменные, например, сразу видно, что одна из них = 0.

При более сложных вариантах, решать линейные системы уравнений удобно методом Гаусса, а также детерминанта. Второй способ предполагает знание формул, умение работать с матрицами, а первый — реализацию преобразований.

Рассмотрим метод Гаусса.

Дана система:

3x-y+z=4

4x+2y-z=5

x-4y+2z=-1

Наша первая задача — уменьшить путем преобразований число переменных до 2-х:

складываем два первых уравнения, получаем: 7x+y=9. Далее умножаем второе на 2 (чтобы коэффициент был 2) и складываем с третьим (избавляемся от z) 9x+4y=9. Выражаем из первого полученного у: 9-7х, подставляем во второе полученное. Таким образом, мы находим значение х = 1, далее подставляем его в любое из найденных и находим у=2, а затем уже в первое уравнение самой системы, подставляем и х, и у, находя z=3.