Как решать методом гаусса?

Елена:

Чтобы решать методом гаусса, необходимо реализовывать преобразования уравнений данной системы с целью выражения одной переменной через другую, нахождения в результате значения одной из них и подстановки в выше найденные зависимости для поиска остальных.

То есть мы будем добавлять, вычитать одно уравнение из другого, чтобы добиться сокращения одной переменной, затем еще одной и т.д. Решать методом гаусса несложно, но иногда достаточно долго.

Рассмотрим конкретный пример. Дана система уравнений:

х+2у-z=0

2x-y+3z=5

-4x+y-2z=-3

Чтобы удобно было делать преобразования, ищем те уравнения, где коэффициент при неизвестных одинаков. В нашем случае есть второе и третье уравнение с коэффициентом при у 1 и -1, суммируем их: 2x-y+3z+(-4x)+y-2z=5+(-3), получаем: -2х+z=2, то есть z=2+2х. Больше таких вариантов нет, поэтому будем домножать одно из уравнений на число, чтобы получить одинаковые коэффициенты при переменной z (роли не играет, какая именно переменная станет первой, но как правило, путь идет методом исключения переменных с конца с целью найти х). Домножаем первое уравнение на 3: 3х+6у-3z=0, затем суммируем его со вторым (как левую, так и правую части): 3х+6у-3z+2x-y+3z=0+5, имеем: 5х+5у=5, отсюда выносим 5, сокращаем (так бывает не всегда) и получаем уравнение х+у=1, откуда у=1-х.

Подставляем полученные значения переменных в любое уравнение, пусть в третье (когда предлагается решать методом гаусса предполагается запись ввиде треугольника): -4х+(1-х)-2(2+2х)=-3, имеем:-9х-3=-3, х=0. Тогда у=1-0=1 и z=2+2*0=2. Решение найдено.