Как найти точки разрыва функции?

Владимир:

Вообще точки разрыва функций возникают только в том случае, когда график теряет свою непрерывность. Разрывы бывают двух родов. Первый случай происходит тогда, когда точка разрыва устранима или не устранима. А во втором роде разрыв функции — это несуществующее значение (бесконечность).

Получается,»найти точки разрыва функции можно только тогда, когда вы определите род разрыва и сможете найти область определения функции. Помимо этого, вам придется отыскать значение пределов функции справа и слева, а потом произвести сравнение их с областью определения.

Легче всего будет понять на примере. Дано»f(x) = (xsup2; — 25)/(x — 5). Задачей является поиск разрывов функций и определение их типа.

Первым делом занимаем определением области. Тут сразу видно что область безгранична. Однако, есть исключение в точке»x_0 = 5. Далее вычисляем односторонние пределы. Упрощаем наш исходный пример до следующего уравнения:»f(x) -gt; g(x) = (x + 5). Данная функция будет в любом значении аргумента непрерывна. Также можно сказать, что все ее пределы между собой равны.

Занимаемся определением совпадения значений пределов в функции. Для этого пишем»x_0 = 5: f(x) = (xsup2; — 25)/(x — 5). Легко понять, что на ноль делить нельзя, здесь знаменатель как раз будет равен нулю. Следовательно, мы видим наличие одной точки разрыва. Это первый тип, устранимое значение.

Во втором случае мы имеем дело с бесконечным разрывом. Допустим, дано»f(x) = 1/x. Явно заметно, что тут область бесконечна. Можно сказать, что пределы стремятся к -бесконечности и +бесконечности. Значит»x_0 = 0 — это разрыв функции второго типа.