Как решать показательные уравнения?

Aleyana:

Решать показательные уравнения несложно, если помнить, что в левой и правой части уравнения основания степени должны быть равны.

Например, если у вас имеется уравнение вида 2^x=8, то 8 нужно представить как 2³. Тогда 2^х=2³, откуда х=3. То есть, если основания равны, то и показатели степени имеем полное право приравнять. Но если у вас такое выражение: 3middot;2^х=2³, то просто приравнять показатели нельзя — перед 2^х стоит коэффициент 3. тогда решение будет записываться через логарифм: 2^х=8/3, откуда х=log₂(8/3).

Если вам дано уравнение вида: 2^х+1+2^х=21, то переживать тоже не надо. Вспомните, что а^bmiddot;a^c=a^b+c. Разложите 2^x+1 на произведение 2^х и 2: 2^хmiddot;2+2^х=21. Вынесем 2^х в левой части: 2^хmiddot;(2+1)=21; 3middot;2^х=21; 2^х=21/3; 2^х=7; х=log₂7.

Приведу ещё один пример такого же типа. Предположим, вам дано:»3^2х+4«-11middot;9^х«= 210. Одинаковых оснований тут нет. Но сразу же вспоминается, что 9=3². Заменяем:»3^2х+4«- 11middot;3^2х«= 210. Вспоминая предыдущий абзац, раскладываем первое слагаемое»3^2х+4«на произведение»3^2х на^«3⁴. Тогда уравнение примет вид:»3^2хmiddot;3⁴«- 11middot;3^2х«= 210. В левой части есть общий множитель»3^2х , который нужно вынести, чтобы уравнение приняло вид:»3^2х(3⁴«- 11) = 210;»3^2хmiddot;70=210;»3^2х=3; 2^х=1 (т.к. 3¹=3); х=0,5.

Последний метод решения — замена переменной. Решим уравнение: 9^х-6middot;3^х+9=0. Представим 9 как 3², тогда 9х=(3²)^х. По правилу (аⁿ)^m=a^nm запишем: 9^х=3^2х. Тогда уравнение будет таким: 3^2х-6middot;3^х+9=0. Похоже на квадратное уравнение. Заменим 3^х на t. Тогда t²=3^2х: t²-6t+9=0.

t=3, значит 3^x=3, откуда получаем, что х=1.»

Готово!