Как решать логарифмы?

Aleyana:

Для начала введём на примере понятие логарифма (показателя). Я предполагаю, что вы уже изучали показательные уравнения, неравенства. Поэтому допустим, что дано число три в степени икс, равное девяти (3^x=9). В этом случае икс легко найти: он будет равен двум (x=2). Надо девять представить в виде трёх (9=3²) в квадрате и опустить основание 3. Если три в степени икс приравниваем к восьми (3^x=8), то основание опустить невозможно. Тогда икс (показатель) будет равен логарифму восьми (правой части уравнения) по основанию 3 (основание): x=log₃8.

«

Чтобы не ошибиться, логарифмируйте обе части уравнения по основанию степени. Опять же тот пример: три в степени икс равно восьми (3^x=8). К обоим частям уравнения до чисел припишите логарифм с таким основанием, какое есть у основания степени (показательной функции): log₃3^x=log₃8. Вынесите показатель вперёд (икс): xlog₃3=log₃8. Останется логарифм трёх по основанию три (1) и логарифм восьми по основанию три (2). Логарифм (1) равен единице, так как три в степени один равно три. Икс остаётся. Приравняйте его к логарифму восьми по основанию три. Это и есть ответ.

«

Чтобы успешно решать уравнения и неравенства, достаточно помнить несколько формул.

«

1. Основное логарифмическое тождество: число А в степени логарифм В по основанию А равно В. Иными словами, если основание логарифма, в который возведено число, равно числу, которое стоит в основании степени:

А^log_AB=B.

2. Логарифм числа В по основанию А равен единице, делённой на логарифм А по основанию В:

log_AB=1/log_BA.»

3. Логарифм по основанию А числа В в некоторой степени К равен К, умноженному на логарифм В по основанию А:

log_AB^K=Klog_AB.

4. Логарифм числа В по основанию А в некоторой степени К (А в степени К) равен 1/К, умноженному на логарифм В по основанию А. 1/К можно занести в логарифмическое выражение. Тогда будете иметь логарифм по основанию А, логарифмируется В в степени 1/К:

log_A^KB=log_AB/K=log_AB^1/K.»

5. По формуле перехода можно заменить любое основание. Имеем всё тот же логарифм В по основанию А. Формула перехода гласит: логарифм В по основанию А равен отношению логарифма В по основанию С к логарифму А по основанию С:

log_AB=log_CB/log_CA.

6. Число А в степени логарифм В по основанию С равен числу В в степени логарифм А по основанию С:

А^log_CB=B^log_CA.

7. Если имеется разность двух логарифмов с одинаковым основанием, то их можно заменить логарифмом дроби. То есть: логарифм В по основанию А минус логарифм С по основанию А равен логарифму В делить на С по основанию А:

log_AB-log_AC=log_A(B/C).»

8. Если имеется сумма двух логарифмов с одинаковым основанием, то их можно заменить логарифмом произведения. То есть: логарифм В по основанию А плюс логарифм С по основанию А равен логарифму В умножить на С по основанию А:

log_AB+log_AC=log_ABC.

«

Для решения логарифмического неравенства запомните законы о знакопостоянстве:

«

1) если логарифм В по основанию А (log_AB) меньше (либо равен)/больше(либо равен) логарифму С по основанию А (log_AC), то вместо это записи вы можете написать (В-С)/(А-1) меньше (либо равен)/больше(либо равен) нуля;

2) если логарифм В по основанию А (log_AB) меньше (либо равен)/больше(либо равен) нуля, то вместо это записи вы можете написать (В-1)/(А-1) меньше (либо равен)/больше(либо равен) нуля.

«

Эти законы особенно эффективны, если в основании логарифма стоит переменная величина (икс).

Также в неравенствах помните, что если основание логарифма меньше единицы (0lt;Аlt;1), то знак неравенства меняется на противоположный (например, если было gt;, то станет lt;). Если основание логарифма больше единицы, то знак не меняется.»

Основание логарифма не может быть отрицательным.»

«

Помните, что логарифм с основанием десять записывается как lg и называется десятичным. Логарифм с основанием е (2,71…) записывается как ln и называется натуральным.

«

Обратите внимание на частные случаи. Логарифм А по основанию А равен единице: log_AA=1. Логарифм единицы по основанию А равен нулю: log_A1=0.

«

Не забывайте указывать условия (О.Д.З., область допустимых значений) для логарифмов. Логарифмируемое выражение (В или С из примеров выше) должно быть строго больше нуля. Основание логарифма (А из примеров выше) должно быть больше нуля и не равно единице.