Как решать логарифмы?

Как решать логарифмы?

Shadowgrove
  1. Aleyana говорит:
    Для начала введём на примере понятие логарифма (показателя). Я предполагаю, что вы уже изучали показательные уравнения, неравенства. Поэтому допустим, что дано число три в степени икс, равное девяти (3x=9). В этом случае икс легко найти: он будет равен двум (x=2). Надо девять представить в виде трёх (9=32) в квадрате и опустить основание 3. Если три в степени икс приравниваем к восьми (3x=8), то основание опустить невозможно. Тогда икс (показатель) будет равен логарифму восьми (правой части уравнения) по основанию 3 (основание): x=log38.
    «
    Чтобы не ошибиться, логарифмируйте обе части уравнения по основанию степени. Опять же тот пример: три в степени икс равно восьми (3x=8). К обоим частям уравнения до чисел припишите логарифм с таким основанием, какое есть у основания степени (показательной функции): log33x=log38. Вынесите показатель вперёд (икс): xlog33=log38. Останется логарифм трёх по основанию три (1) и логарифм восьми по основанию три (2). Логарифм (1) равен единице, так как три в степени один равно три. Икс остаётся. Приравняйте его к логарифму восьми по основанию три. Это и есть ответ.
    «
    Чтобы успешно решать уравнения и неравенства, достаточно помнить несколько формул.
    «
    1. Основное логарифмическое тождество: число А в степени логарифм В по основанию А равно В. Иными словами, если основание логарифма, в который возведено число, равно числу, которое стоит в основании степени:
    АlogAB=B.
    2. Логарифм числа В по основанию А равен единице, делённой на логарифм А по основанию В:
    logAB=1/logBA.»
    3. Логарифм по основанию А числа В в некоторой степени К равен К, умноженному на логарифм В по основанию А:
    logABK=KlogAB.
    4. Логарифм числа В по основанию А в некоторой степени К (А в степени К) равен 1/К, умноженному на логарифм В по основанию А. 1/К можно занести в логарифмическое выражение. Тогда будете иметь логарифм по основанию А, логарифмируется В в степени 1/К:
    logAKB=logAB/K=logAB1/K
    5. По формуле перехода можно заменить любое основание. Имеем всё тот же логарифм В по основанию А. Формула перехода гласит: логарифм В по основанию А равен отношению логарифма В по основанию С к логарифму А по основанию С:
    logAB=logCB/logCA.
    6. Число А в степени логарифм В по основанию С равен числу В в степени логарифм А по основанию С:
    АlogCB=BlogCA.
    7. Если имеется разность двух логарифмов с одинаковым основанием, то их можно заменить логарифмом дроби. То есть: логарифм В по основанию А минус логарифм С по основанию А равен логарифму В делить на С по основанию А:
    logAB-logAC=logA(B/C).»
    8. Если имеется сумма двух логарифмов с одинаковым основанием, то их можно заменить логарифмом произведения. То есть: логарифм В по основанию А плюс логарифм С по основанию А равен логарифму В умножить на С по основанию А:
    logAB+logAC=logABC.
    «
    Для решения логарифмического неравенства запомните законы о знакопостоянстве:
    «
    1) если логарифм В по основанию А (logAB) меньше (либо равен)/больше(либо равен) логарифму С по основанию А (logAC), то вместо это записи вы можете написать (В-С)/(А-1) меньше (либо равен)/больше(либо равен) нуля;
    2) если логарифм В по основанию А (logAB) меньше (либо равен)/больше(либо равен) нуля, то вместо это записи вы можете написать (В-1)/(А-1) меньше (либо равен)/больше(либо равен) нуля.
    «
    Эти законы особенно эффективны, если в основании логарифма стоит переменная величина (икс).

    Также в неравенствах помните, что если основание логарифма меньше единицы (0lt;Аlt;1), то знак неравенства меняется на противоположный (например, если было gt;, то станет lt;). Если основание логарифма больше единицы, то знак не меняется.»
    Основание логарифма не может быть отрицательным.»
    «
    Помните, что логарифм с основанием десять записывается как lg и называется десятичным. Логарифм с основанием е (2,71…) записывается как ln и называется натуральным.
    «
    Обратите внимание на частные случаи. Логарифм А по основанию А равен единице: logAA=1. Логарифм единицы по основанию А равен нулю: logA1=0.
    «

    Не забывайте указывать условия (О.Д.З., область допустимых значений) для логарифмов. Логарифмируемое выражение (В или С из примеров выше) должно быть строго больше нуля. Основание логарифма (А из примеров выше) должно быть больше нуля и не равно единице.

Добавить комментарий

Войти с помощью: