Как находить вторую производную?

Раздел «Дифференциальное исчисление» — один из самых интересных в высшей математике. Производные разных порядков имеют определенный физический и геометрический смысл. Рассмотрим два основных случая нахождения второй производной. В первом случае рассмотрим нахождение второй производной простой функции. Во втором случае ознакомимся с нахождением частных вторых производных сложной функции нескольких аргументов.

1. Итак, учимся находить вторую производную простой функции одного аргумента:
Находим производную первого порядка с использованием таблицы дифференцирования элементарных функций.

2. Находим производную второго порядка, беря еще одну производную от найденной производной первого порядка, с использованием все той же таблицы дифференцирования элементарных функций.

3. В случае дифференцирования сложной функции нескольких аргументов порядок нахождения частных производных второго порядка будет следующий:

4. Находим частные производные первого порядка по каждому из аргументов сложной функции, причем остальные аргументы рассматриваем при этом дифференцировании как постоянные величины (константы). При вычислениях используем таблицу дифференцирования сложных функций.

5. Берем вторые частные производные по уже найденным первым производным по каждому аргументу (остальные аргументы при этом рассматриваем как константы), а также вторые частные производные одного аргумента по каждому из имеющихся аргументов.

6. Проверяем равенство найденных частных производных второго порядка одного аргумента по другому аргументу. При вычислениях используем таблицу дифференцирования сложных функций. Общее количество частных производных второго порядка, найденных для функции нескольких аргументов, равно удвоенному количеству аргументов, из которых состоит сложна функция.

Научившись находить вторую производную, вы сможете строить графики функций и исследовать их на экстремумы (точки максимума и минимума). В физическом же смысле находить вторую производную значит вычислять значение ускорения движения материальной точки.