Как решать двойные неравенства?

Елена:

Чтобы решать двойные неравенства, изначально их необходимо рассматривать как две части. То есть решить левую или правую часть, а затем оставшаяся будет выступать как дополнительное ограничение, которое необходимо учитывать.

Например, имеем неравенство 0 lt; x + 2 lt; 5 Рассматриваем две части — gt; 0 lt; x + 2 и x + 2 lt; 5. Из одной мы получаем x lt; 5 — 2 (переносим свободные члены в одну сторону, а неизвестное оставляем в другой) — gt; x lt; 3. Из другой 0 lt; x + 2 имеем — gt; 0 — 2 lt; x, то есть следует -gt; x gt; -2. Таким образом мы получили диапазон ( -2 ; 3 ) или -2 lt; х lt; 3. Это и является решением неравенства.

Если же мы рассматриваем ситуацию, когда решать двойные неравенства, необходимо с учетом равенств, то в результате мы просто будем получать отрезок, но сам ход решения никак не изменится: необходимо находить решения каждой части неравенства. Также следует учитывать, какие именно неравенства вы рассматриваете: это может быть одна или несколько неизвестных, многочлен, тригонометрическое неравенство и т.д.

Очень удобно решать неравенства (особенно двойные), изображая данные на графике: отмечаем точки на оси Х, ищем те части, где выполняется каждая из частей неравенства, смотрим на их общую составляющую, которая и будет ответом. Если точки в ходят в неравенство (ответ — отрезок), то на графике их обозначают зарисованным кружком, если нет — просто окружностью, то есть кружок будет пустым.

Может возникнуть ситуация, когда общей части найдено не будет, тогда ответ — объединение этих частей-найденных решений и обозначается перевернутой дугой между частями.