Как решать параметры?

Aleyana:

Типичные задачи с параметрами — квадратные вида Ах²+Вх+С.

Необходимо найти количество решений: нет решений (дискриминант кв. ур-яlt;0), есть одно решение (дискриминант кв. ур-я=0), есть два решения (дискриминант кв. ур-яgt;0).

Рассмотрю на конкретном примере. Дано уравнение х²-(а-2)х-(а-2)=0.

» » «Коэффициенты: 1, -(а-2), -(а-2).

» » Нет решений будет, если Dlt;0. Считаем D=(а-2)2+4(а-2)=(а-2)(а+2).

» » (а-2)(а+2)lt;0. Решаем методом интервалов: чертим прямую а, отмечаем точки 2 и -2, выкалываем точки, так как неравенство строгое, расставляем знаки. Штрихуем между -2 и 2, так как там знак минус.

» » Следовательно при а, принадлежащем интервалу (-2; 2) у уравнения х2-(а-2)х-(а-2)=0 не будет решений.

» » Одно решение и два решения находятся по той же схеме, только D будет менять — оно будет равно и больше нуля соответственно.

Если параметр стоит перед старшим членом, например, (а-2)х²-(а-3)х-а=0, то при нахождении а, при котором уравнение будет иметь 1 решение, то необходимо рассматривать два случая и в одном из случаев приравнивать этот параметр к нулю: a-2=0. Тогда квадратное уравнение выродится в линейное и будет иметь одно решение.

Рассмотрю на конкретном примере. Дано уравнение (а+20)х²+(а+5)х+1=0

Коэффициенты: (а+20), (а+5), 1.

Случай первый: а+20=0, а=-20. Тогда уравнение имеет единственное решение. Подставляем а=-20 в уравнение выше.

-15х+1=0

х=1/15.

Случай второй: а+20ne;0, аne;-20. Считайте по способу выше.

Чтобы выяснить знаки корней квадратного уравнения Ах2+Вх+С применяйте теорему Виета.

Она записывается следующим образом:

x₁+x₂=-b/a

x₁middot;x₂=c/a. Слева ставится знак системы. x₁ и x₂ — корни квадратного трёхчлена.

Существует несколько теорем:

1) Если оба корня больше нуля, то их сумма (-b/a) больше нуля, произведение (c/a) больше нуля, дискриминант (D) больше нуля.

2) Если оба корня отрицательны, то их сумма (-b/a) меньше нуля, произведение (c/a) больше нуля , дискриминант (D) больше нуля.

3) Если x₁gt;0, x₂lt;0, x₁gt;x₂ по модулю, то их сумма (-b/a) больше нуля, произведение (c/a) меньше нуля, дискриминант (D) больше нуля.

4) Если x₁gt;0, x₂lt;0, x₁lt;x₂ по модулю, то их сумма (-b/a) меньше нуля, произведение (c/a) меньше нуля, дискриминант (D) больше нуля.

Пример: при каких а корни уравнения (а-2) х²+2(а-3)х+а-5=0 положительны?

Считаем дискриминант: D=4(a-1).

Считаем сумму корней: х₁+х₂=-2(а-3)/а-2.

Считаем произведение корней: x₁middot;x₂=а-5/а-2.

Составляем систему:

4(a-1)gt;0

-2(а-3)/а-2gt;0 (умножаем на -2 и изменяем знак неравенства на противоположный)

a-5/a-2gt;0.

Получаем:

agt;1 (1)

a-3/a-2lt;0 (2)

а-5/а-2gt;0 (3).

Рисуем числовую прямую, выставляем точки 1, 2, 3, 5 (все они должны быть выколотыми). Сначала рисуем ветви для решения неравенства (1). Они уйдут от точки 1 в +infin;. Затем ставим точки 3 и 2 из неравенства (2). Определяем знаки. Между точка 2 и 3 стоит знак минус. Заштрихуем его лёгкими движениями карандаша. Поставьте точки 2 и 5. Неравенство (3) положительно, если agt;5 и alt;2. Вывод: эти три неравенства нигде не пересекаются, а значит ни при каких значениях а уравнение не имеет положительных корней.

Также в задачах с параметрами встречается задание на определение, где расположение корней квадратного трёхчлена Ах²+Вх+С .»

Пусть даны точки M и N (Mlt;N), относительно которых двигаются корни уравнения.

Есть семь теорем, связанных с этим.

1) оба корня меньше числа M: дискриминант (D)gt;0, вершина уравнения (-b/2a)lt;M, значением в точке M (Amiddot;f(M))gt;0 [однако стоит помнить, что если Agt;0, то значением в точке М положительно, если Аlt;0, то отрицательно]

2) х₁gt;М, х₂lt;М: дискриминант (D)gt;0, Amiddot;f(M)lt;0 «

3) х₁gt;М, х₂gt;M: дискриминант (D)gt;0, «вершина уравнения (-b/2a)gt;M, Amiddot;f(M)gt;0

4) Mlt;x₁lt;x₂lt;N (корни находятся между точками М и N): «дискриминант (D)gt;0, Mlt;-b/2alt;N,» Amiddot;f(M)gt;0, Amiddot;f(N)gt;0

5) x₂lt;x₁, x₁ лежит между M и N, x₂ не лежит между M и N: Dgt;0, Amiddot;f(M)lt;0, Amiddot;f(N)gt;0, f(M)middot;f(N)lt;0

6) x₁gt;x₂, x₂ лежит между M и N, x₁ не лежит между M и N: Dgt;0, Amiddot;f(M)gt;0, Amiddot;f(N)lt;0

7) x₂lt;Mlt;Nlt;x₁ (точки M и N находятся между корнями):» Dgt;0, Amiddot;f(M)lt;0, Amiddot;f(N)lt;0″

Если вам дано уравнение или неравенство с модулем, где только одна переменная х, раскрывайте модули по определению до тех пор, пока не останется модуль с параметром а.»

«